国家自然科学基金1个专项项目申请指南发布

 
 
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2023年度国家自然科学基金“量子计算的数学基础理论”专项项目申请指南

由于和经典计算机相比具有潜在的多项式级甚至指数级的计算优势，量子计算正在成为引领未来技术革命的最重要的技术之一。因此量子计算的发展，将大大增强国力，为中国成为科技强国提供必不可少的技术支撑。

自从Shor提出的快速分解大整数的量子算法以来，量子信息安全和通信领域正飞速发展。然而由于量子计算根据量子力学原理设计，因此局限于从量子态经过量子门（酉矩阵）到量子态的计算，如何构造求解经典科学与工程问题和机器学习的量子算法面临极大的挑战。另外量子算法的数学理论，包括量子复杂度的研究仍处于萌芽状态，对其深入的研究对探究量子计算的基本原理、判断一个计算问题是否存在有效算法、开拓新的应用领域和发展新的量子算法，具有重大意义。为此，国家自然科学基金设立“量子计算的数学基础理论”专项项目，支持该领域研究。

一、科学目标

本专项项目旨在围绕微分方程的量子算法，量子随机优化的模型、算法与理论，代数方程的量子算法与理论，量子复杂度的几何拓扑理论，量子计算与量子安全中的表示论，以及薛定谔方程及离散流等方向，组建若干科研团队进行探索，以期取得重大科研成果。

二、研究方向

本专项项目拟资助以下研究方向：

（一）微分方程的量子算法。

构造求解一般确定、带不确定性和随机的线性常微和偏微分方程及相应的边值和界面问题的具有量子优势的量子模拟方法。构造这些问题的既适合连续变量也适用于量子比特框架的、适用于近期可望实现的模拟量子计算机运算的量子算法并建立相关数学理论。寻求具有重要科学和工程应用背景的非线性常微和偏微分方程的在高维空间的等价的线性表示，并在其基础上构造具有量子优势的量子模拟方法。探索这些算法中量子纠缠与量子非高斯门对量子优势的影响，算法在近期和远期物理平台实现的数学理论基础，从而获得两者的最佳结合。研究流体力学、动理学方程和分子动力学的具有量子优势的量子算法并建立相关的数学理论。和实验团队合作实现上述部分模拟量子算法。

（二）量子随机优化的模型、算法与理论。

构造普适的量子游走和绝热量子计算模型，分析其动力学演化规律及在搜索和采样算法设计上的量子优势与局限。基于上述模型研究新的量子随机优化数学理论，以期在图同构、连通性、图聚类、图扩张等图的性质检测问题及哈密顿圈、旅行商等经典运筹优化问题上，设计出更能体现量子优势的量子算法。研究量子叠加/相干/纠缠/关联等量子资源在上述量子算法中的特征和应用，揭示和量化量子叠加作为量子计算的本质要素。

（三）代数方程的量子算法与理论。

针对矩阵和多项式计算问题，从访问和通信复杂度角度出发，设计高效量子算法和高效量子通信方案，建立相关数学理论，并体现出量子优势。发展（非）交换多项式优化和访问复杂度估计的数学理论，应用于量子算法设计。研究量子非局域游戏、量子同态加密、量子私密信息提取等问题的量子提速算法及其代数学基础。

（四）量子复杂度的几何拓扑理论。

研究Nielsen几何框架中满足复杂性条件的黎曼度量的存在性；找到最佳逼近的复杂性度量并研究其几何性质；将 Nielsen 的几何框架引入拓扑量子计算；研究量子不变量的量子复杂度；研究量子不变量复杂度与经典拓扑复杂度的关系。给出量子场论（或共形场论）中量子复杂度的恰当数学定义；在有严格定义的全息对偶模型（例如 CS/WZW 对偶）中研究全息复杂度；研究一些简单的时空模型（例如 SYK 模型），并在其上研究时空几何与量子复杂度。研究Chern-Simons理论的几何量子化，并研究其算子空间的量子复杂度；研究 Mahler 测度的几何量子化，并将其与量子复杂度建立联系。在几何复杂度理论的框架下研究量子复杂度；研究计算行列式复杂度的量子算法并研究该算法的量子复杂度。

（五）量子计算与量子安全中的表示论。

建立非交换量子傅立叶变换相关数学理论，设计量子算法协助完成李群不可约酉表示的分类，体现出量子计算超级运算优势。利用代数群的Chevalley基与量子群Lusztig标准基，寻求判断格同构的新方法。运用一般线性群的表示论与基本域上的自守形式理论，研究格空间的广义函数分布，找出具特殊结构的代数格，确定相应格密码抗量子攻击的安全性。

（六）薛定谔方程及离散流。